jueves, octubre 06, 2005

Laplace versus Fourier

Desde que entré al Doctorado en Física (y quizá antes cuando leí el libro de Mecánica Cuántica de Luis de la Peña) una cosa que me intrigaba era que los Físicos (y ahora yo) utilizaban Transformada de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales y los Ingenieros (yo también) usaban para lo mismo, Transformadas de Laplace. De la gente a la que le pregunté nadie me podía decir nada coherente, pero hoy investigando en Internet me enteré por fin, he aquí un rápido resumen:

  • Debido al exponente negativo en la integral de la Transformada de Laplace su convergencia es mucho más fuerte que en el caso de Fourier.
  • La Transformada de Laplace es mejor para resolver problemas de valor inicial (t=0), La Transformada de Fourier para resolver problemas con condiciones en la frontera, en especial cuando queremos que la solución decaiga a cero a grandes distancias. Una mezcla de ambos procedimientos es lo mejor: Ya que estamos interesados en resolver problemas en el espacio y tiempo, que tengan un valor determiando en t=0 y decaigan a grandes distancias, entonces, hay que tomar la Transformada de Laplace respecto al tiempo y la de Fourier respecto al espacio.
  • Aunque regularmente la definición de Transformada de Laplace es : F(s) = int(f(t) exp(-st)dt con límites de cero a más infinito, no es su única definición, esta es considerada la Transformada de Laplace Unilateral. Existe otra definición que va de menos infinito a más infinito y es llamada Transformada Bilateral de Laplace. Tomando en cuenta esta última la Transformada de Fourier es un caso específico de la Transformada de Laplace Bilateral cuando s está restringido al eje imaginario. Debido a esto la Transformada de Laplace puede manejar muchas más funciones que la de Fourier (si hay polos en el eje imaginario su transformada diverge, cosa que no sucede con Laplace, basta ver los ejemplos en Teoría de Control).
  • Laplace es unidimensional, Fourier es multidimensional.
  • La función transformada por Laplace vive en todo el espacio complejo, la función transformada por Fourier vive en el espacio real.
  • La Transformada Bilateral de Laplace sirve para modelar sistemas no causales!!
Para más información ver Everything2 y aquí y un poco más aquí.

Todo parece indicar que es mejor usar Laplace que Fourier... Un punto para los ingenieros!!

1 Comments:

Anonymous Anónimo said...

oye se me hace muy interesante los puntos que das, la realidad es que yo no tengo mucho manejando la transformada de Fourier, pero lo poco que la he usado me hace pensar que con fourier se suelen resolver problemas mas reales que con Laplace (y tengo la mayoria de mi vida trabajando con laplace), con laplace por lo general solo he llegado a fundamentos teoricos de control,aunque estoy de acuerdo contigo, aunque muchos libros reiteran que el parecido entre transformadas es mera casualidad, yo siempre he creido que la transformada de fourier es parte de la de laplace bilateral o que la unilateral de laplace es parte de la transformada de fourier, creo que es algo asi como la transformada wavelet, jeje, en fin creo que tomare algunos de tus consejos a la hora de trabajar con ED creo que lo de trabajar con laplace en tiempo y fourier en espacio es lo que mas resaltaria, junto con lo de las condiciones iniciales en 0 para laplace.

viernes, 31 agosto, 2012  

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